علوم رياضي و روش تحقيق آن ها.
يقيني بودن رياضيّات: از آنجا كه علوم رياضي بسيط¬ترين علوم هستند، يقيني¬ترين آن¬ها نيز مي¬باشند. به طوري كه ذهن ما حقايقی را كه توسّط براهين رياضي به دست مي¬آورد ضروري مي¬داند و نقيض آن¬ها را محال. و اين بدان خاطر است، كه در رياضيّات، ذهن ما بدون وساطت تجربه، ميان مقاديري كه خود تصوّر كرده است، روابط ثابتي برقرار مي¬كند.
فوايد رياضيّات: رياضيّات هم موجب پرورش ذهن¬اند و هم كلّي¬ترين قوانين را در مورد مقادير (اَعداد و اَشكال و حركات) به ما ارائه مي¬دهند، كه اين قوانين خود در علوم ديگر ـ مخصوصاً فيزيك و شيمي و هيأت ـ مورد استفاده قرار مي¬گيرند.
موضوع رياضيّات: موضوع رياضيّات اندازه¬گيري مقادير يعني اعداد و اَشكال و حركات است. چه كمّ يا مقدار دو قسم است: متّصل و منفصل. كم منفصل که اعدادند و موضوع «حساب» اند، و كم متّصل که خود دو قسم است: كم متّصل قارّ كه اجزاء مفروضش در وجود اجتماع دارند و سه قسم است: حجم، سطح و خط كه موضوع «هندسه» اند، و كم متّصل غيرقارّ که «زمان» است و اجزاء مفروضش در وجود با يكديگر اجتماع ندارند، بلكه تا جزيي از آن سپري نشود، جزء ديگر آن موجود نمي¬شود. زمان مقدار حركت را معيّن مي¬نمايد.
علم جبر: براي كلّي¬تر كردن رياضيّات از جبر يعني حروف استفاده مي¬شود. مثلاً به جاي اعداد 2 و 3 در حساب و حاصل جمع آن¬ها «5» مي¬توان «الف» و «ب» را كه در جبر به كار مي-رود، نماينده¬ی¬ هر عددي دانست و با فرمولي اين¬چنين از آن استفاده كرد: ج = ب + الف.
«مكانيك» كه موضوع آن حركت است و «هيأت» كه موضوع آن مطالعه¬ اجرام سماوي است. به نظط¬¬ بعضي «حساب احتمالات» حدّ وسط رياضيّات و فيزيك است.
حساب احتمالات
به وسيله¬¬ حساب احتمالات، اندازه¬¬ احتمال وقوع امور را معيّن مي¬كنند. مثلاً هرگاه در كيسه¬اي يك گلوله¬ی سياه و نه گلوله¬ی سفيد باشد و كسي در آن كيسه دست كند، تا يكي از آن¬ها را بيرون آورد، احتمال بيرون آوردن گلوله¬ی سياه يك در ده است.
حساب احتمالات در زندگي روزمرّه¬ی¬ انسان كاربرد فراوان دارد. چنان¬كه هر چند مثلاً وقوع زلزله در محيط ما امري ممكن است، ولي ما اكنون با خيال راحت در زير سقفي نشسته¬ايم، كه در صورت وقوع زلزله فرومي¬ريزد، و اين بدان خاطر است، كه بنا بر حساب احتمالات، احتمال وقوع زلزله بسيار ضعيف است.
مبادي و استدلال در رياضيّات: براي تحقيق در هر علمي به دو چيز نياز است: مبادي يا اصول و استدلال. مبادي در رياضيّات تعاريف علوم متعارفه و اصول موضوعه¬اند، و استدلال در رياضيّات «برهان» است.
1 ـ تعاريف رياضي
تعاريف رياضي قضايايي هستند، كه ذاتيّات يك عدد و يا شكلي را بيان مي¬كنند، مثلاً در تعريف «دو» ¬-گوييم: از جمع يك با يك حاصل مي¬شود، و يا در تعريف دايره ¬گوييم: شكلي است محدود به يك خط منحني بسته، كه فاصله¬ی همه¬ی نقاط آن از مركز يكسان است.
فرق تعاريف رياضي با تعاريف تجربي: اوّلاً، تعاريف رياضي قطعي هستند، ولي تعاريف تجربي ممكن است تغيير يابند.
ثانياً، تعاريف رياضي براستدلال تقدّم دارند، ولي تعاريف تجربي بعد از تجربه¬اند، چنان-كه مثلاً اوّل مثلّث، مربّع و... را تعريف مي¬كنيم، بعد مساحت، محيط و ساير خصوصيّات آن¬ها را بيان مي¬كنيم، ولي مثلاً آب را اوّل تجزيه مي¬كنيم و بعد از معلوم ¬شدن اجزائش آن را چنين تعريف مي¬كنيم: آب مايعي است،¬ كه از اكسيژن و هيدروژن تشكيل يافته است.
قواعد تعاريف: اوّلاً، اموري كه معلوم¬اند نبايد تعريف كرد.
ثانياً، هيچ امر مبهمي را نبايد بي¬تعريف گذاشت.
ثالثاً، اصطلاحات و لغاتي در تعريف به كار روند، كه كاملاً معلوم¬اند.
2 ـ علوم متعارفه
علوم متعارفه قضايايي بديهي¬اند، كه ميان مقادير نامعيّن نسبتي ضروري بيان مي¬كنند. مثلاً ¬گوييم: «كلّ بزرگ¬تر از جزء خودش است»، «دو مقدار مساوي با مقدار سوّم خود نيز مساوي¬اند» و «ميان دو نقطه نمي¬توان بيش از يك خط مستقيم رسم كرد».
3 ـ اصول موضوعه
اصول موضوعه با آن¬كه مثل علوم متعارفه بديهي نيستند، ولي به عنوان مسلّم به كار مي¬روند. در هندسه يك اصل موضوع (اصل اقليدس) به¬ عنوان مسلّم به¬كار مي¬رود وآن اين است¬كه: از نقطه¬ی¬ خارجي يك خط مستقيم فقط يك خط مي¬توان رسم كرد، كه با آن موازي باشد.»
فرق اصول موضوعه با علوم متعارفه اين است¬كه: اوّلاً، علوم متعارفه از نظر عقل ضرورت دارند و حال آن¬كه اصول موضوعه ضرورت عقلي ندارند، بلكه از راه حسّ و تجربه به صحّت آن¬ها اطمينان نموده¬ايم. ثانياً، علوم متعارفه در باره¬ی¬ مقادير نامعيّن هستند، و حال آن¬كه اصول موضوعه فقط در باره¬ی¬ مقادير معيّن صدق مي¬كنند.
برهان در رياضيّات
با برهان كه استدلال در رياضيّات است، از مبادي بديهي و تعاريف نتايج يقيني استنتاج مي¬شود. مثلاً استدلال براي اثبات «مساوي دو قائمه بودن مجموع زواياي مثلّث» چنين است: مجموع زواياي مثلّث مساوي با مجموع زوايا در يك نقطه و يک طرف خط مستقيم (صغرا) و مجموع زوايا در يك نقطه و يك طرف خط مستقيم مساوي با دو قائمه است(كبرا)، پس مجموع زواياي مثلّث مساوي دو قائمه است (نتيجه).
و اين نتيجه قطعي است، زيرا در قياس چون از حكم كلّي به حكم جزيي شده، هر حكمي كه براي كلّي صادق بدانيم، براي افراد آن كلّي هم قطعاً صادق است.
برهان تحليلي و تأليفي در رياضيّات
در رياضيّات هر گاه مجهول را به اجزائش تجزيه كنيم، تا به مبادي تشكيل دهنده¬ی معلومش، برسيم، به تحليل پرداخته¬ايم، ولي اگر با تركيب مبادي و اصولی¬كه براي ما معلوم¬اند، به مجهول برسيم، به تأليف پرداخته¬ايم. مثلاً اگر براي ثابت كردن «هرخط مستقيمي¬كه يكي از دوخط موازي را قطع كند، خطّ ديگر را نيز قطع مي¬كند» به اصل موضوع اقليدس (از يك نقطه¬ خارج خطّي نمي¬توان بيش ازيك خط موازي با آن رسم نمود) برسيم، برهان تحليلي است، ولي اگر از اصل موضوع اقليدس و با تعاريف به اين نتيجه برسيم، كه «هر خطّي¬كه يكي از دو خطّ موازي را قطع¬كند، خط ديگر را نيز قطع مي¬كند» به برهان تأليفي پرداخته¬ايم.
برهان خُلف در رياضيّات
هرگاه اثبات مستقيم قضيّه¬اي ميسّر نباشد، هرگاه نقيضش را باطل سازيم، با اتّكا به «اصل امتناع تناقض» كه برحسب آن يكي از متناقضان حتماً باطل و ديگري صحيح است، عين قضيّه¬¬ مطلوب اثبات مي¬شود. مثلاً هرگاه ثابت كنيم: «خطّي كه يكي از دو خط متوازي را قطع كند خطّ ديگر را قطع نمي¬كند» باطل است، نقيضش: خطّي¬كه يكي از دو خط متوازي را قطع كند، خط ديگر را نيز قطع مي¬كند، صحيح است.
نظريّات مختلف در باره¬ مقادير
در باره¬ مقادير اين سؤال مطرح است، كه تصوّر و مفهوم اعداد بزرگ چون ميليارد و بيشتر كه نديده¬ايم و اَشكال منظّم هندسي چون مثلّث، مربّع، بيضي، مخروط، استوانه، منشور و... كه در طبيعت وجود ندارند، از كجا براي بشر حاصل شده است؟
1 ـ نظر افلاطون: افلاطون معتقد بود روح انسان قبل از بدن در دنياي ديگري يعنی عالم معقولات و مجرّدات (دنياي مُثُل) بوده، و در آن دنيا تمام حقايق موجودات يعنی مُثُل را درك كرده است، و چون به دنيای مجازی يعنی عالم دنيا، که عالم کون و فساد است آمده و به بدن تعلّق گرفته، حجابی ميان او و معلوماتش برقرار شده و انسان با تعليم يا رياضت مي¬تواند به تدريج آن معلومات را به ياد آورد. بنابراين، آنچه بشر در اين دنيا ياد می¬گيرد، در حقيقت تذکّر و يادآوری آن معلومات فراموش شده است نه يادگيری و تعليم جديد.
در ميان فلاسفه¬ی¬ غربي هم، عدّه¬اي ¬به نام «عقليّون» چون دكارت و كانت قائل به يك سلسله معلومات قبلي يعني معلومات غيرحاصل از تجربه و حواس¬اند، كه لازمه¬ی¬ ساختمان ذهن است و مي¬گويند: اين مفاهيم كه «اصول ماقبل¬التّجربه» نام دارند، فطري بشرند، يعني آدمي آن¬ها را با خود به عرصه¬ی¬ وجود آورده است، که به منزله¬ی¬ سرمايه¬ای برای کسب علوم می¬باشند. عقليّون خود در تعيين اصول مزبور اختلاف دارند، برخی از آن¬ها «اصل هوهويت» را که يک اصل تصديقی است، اصل مقدّم بر تجربه و حسّ گرفته¬اند و برخی ديگر «اصل امتناع تناقض» را که آن هم يک اصل تصديقی است.
نقد: اوّلاً، اشكال مهمّ نظر افلاطون، بي¬دليلي وجود جهان مُثُل است.
ثانياً، هرگونه اعتقاد به معلومات ذاتی مبتنی بر اعتقاد به کمال ذاتی روح و تقدّم آن بر بدن و ازليّت آن که توسّط افلاطون ابراز شده درست نيست، زيرا در آن صورت انسان¬ها می¬بايستی به همه¬¬ علوم آگاهی داشته باشند، درحالی¬که چنين نيست.
ثالثاً، اگر علوم فطری بشر بودند، نمی¬بايستی فقدان يکی از حواس ما بر شناخت و علوممان اثری بگذارد، در حالی که برای ما روشن است، که هر حسّی نداشته باشيم، علم مربوط به آن حسّ را نيز نداريم و به قول ارسطو: «مَن فَقَدَ حِسّاً، فَقَدَ عِلماً: کسی که فاقد حسّی باشد، علم مربوط به آن حسّ را هم فاقد است.»
رابعاً، اثبات شده، که روح يا نفس جسمانيةُ الحدوث است و با حدوث جسم يعنی کامل شدنش در سنّ چهار ماهگی در شكم، حادث می¬شود.
خامساً، هر چند اين اشکالات تنها بر افلاطون وارد است، نه بر امثال دکارت و کانت¬، که بعضی از ادراکات را فطری می¬دانند، ولی اشکال نظريّه¬ی فطري بودن مقادير در عقل هم درست نيست، زيرا اگر چنين بود، مي¬بايستي همه¬ی¬ اَعداد و اَشكال به همه¬ی اذهان بيايند، حال آن¬كه بسياري از اقوام بدوي هستند، كه بعضي از اَشكال هندسي و بالاتر از بيست، بسا عددي تصوّر نمي¬كنند.
2 ـ نظريّه¬ تجربيّون در باره¬ی¬ مقادير: عدّه¬اي امثال جان¬لاك و هيوم معتقدند تمام افكار انسان ازجمله اَشکال هندسی منتظم و ارقام بزرگ ناشي از تجربه¬¬اند؛ زيرا در ابتداي تولّد لوح ضمير انسان از هرگونه معلوماتي خالی است و هرچه که در ذهن است، تنها همان چيزهايی است، که از همين دروازه¬های حواس وارد ذهن شده¬اند.
نظر تجربيّون نيز نمي¬تواند درست باشد، زيرا بسياري از اعداد چون يک ميليارد و بعضی اَشكال چون کثيرالاضلاع هزار ضلعی را ما تصوّر مي¬كنيم، در صورتي كه هرگز تحت حواس ظاهری ما قرار نگرفته¬اند. و نيز منشأ تصوّر نقطه وخطّ و سطح را چگونه می¬توانيم حسّ بدانيم، با اين¬که ما در خارج از ذهن، شئ محسوس هيچ بعدی و يک بعدی و دو بعدی نداريم، بلکه هر موجودی يا هيچ بعدی ندارد، چون خدا، فرشتگان، روح و غيره، يا سه بعدی هستند، چون همه¬ی¬ اجسام و مادّيّات.
3 ـ نظر عقليّون در باره¬ی مقادير: عقليّون قائل به وجود افكار فطري و مستقل از تجربه و حسّ در عقل-اند. اينان مي¬گويند: اصول تفكّر انساني كه در همه¬ی انسان¬ها مشترك¬اند، فطري مي¬باشند و فروع تفكّرات و شاخه¬هاي تفكّر اكتسابي¬اند. و ادراكات اكتسابی ما متّكی به همان پايههای فطری است، البتّه نه به آن معنا كه افلاطون مي¬گفت: «انسان اين¬ها را در دنياي ديگر مي¬دانسته و اين¬جا فراموش كرده است»، بلكه در اين دنيا متوجّه آن اصول مي¬شود، ولي در دانستن اين¬ها نيازمند به معلّم و يا ترتيب قياس دادن، يا تجربه كردن نيست، بلکه ساختمان فكري انسان به¬گونه¬اي است، كه آن مسائل به صرف اين¬كه به او عرضه شوند براي درك آن¬ها كافي است. اين نظريّه را معمولاً حكماي اسلامي ارائه مي¬دهند و ارسطو نيز همين نظريّه را با اختلاف در بعضي خصوصيّات داشته است.
عقليّون برای اثبات اين نظريّه¬شان می¬گويند: اصل «امتناع تناقض» يعنی اين¬که «اجتماع و ارتفاع نقيضين محال است» بديهی است، زيرا محال بودن چيزی را نمی¬توان باتجربه ثابت کرد، چون تجربه روی امور موجود کار می¬کند، نه معدومات.
همان¬گونه¬كه اگر در رياضيّات اصولی بديهي نباشد، هيچ قضيّه¬¬ رياضي قابل اثبات نيست، در مسائل استدلالي نيز يك سلسله بديهيّات هستند، كه تجربي نيستند، بلكه انسان آن¬ها را به طور فطري مي¬داند و بر پايه¬ی¬ آن¬ها استدلالات نظري بنا مي¬گردد.
حتّيٰ اگر ما اصول فطري را منكر شويم، تمام مسائل عقلي، مشكوك شده و در نتيجه ما به هيچ¬وجه داراي جهان¬بيني نخواهيم بود، بلكه در درّه¬ی¬ هولناك سفسطه سقوط خواهيم كرد. مثلاً اگر وقتي كه ما به وسيله¬ی تجربه يا استدلال عقلی ثابت كرديم، كه فلان چيز موجود است، اگر اصل «عدم اجتماع نقيضين» را قبول نداشته باشيم، مي¬توانيم بگوييم: آن موضوع در ضمن اين¬كه موجود است، موجود هم نيست. و اگر بخواهيم اصول بديهي را هم اثبات كنيم به تسلسل مي¬كشد، يعني هرگز چيزي به اثبات نمي¬رسد.
ثانياً، ما همانگونه كه در مقابل سوفسطايی¬ها كه وجود همه چيز را منكرند و ايده-آليستها كه وجود اشيا خارجی را منکرند و معتقدند انسان، حيوان، نبات، زمين، خورشيد، ستارگان و کهکشان¬ها تنها در ذهن ما موجودند، تكيه بر وجدان می¬كنيم و می¬گوييم وجدان ما گواه بر بطلان اينگونه عقايد است، چون ما به روشنی وجود خود و جهان خارج را درك مىكنيم، همين ضرورت وجدانی نيز نشان مىدهد، كه بسياری از ادراكات در درون جان ما هست.
ثالثاً، چون اعداد بزرگ و اَشكال منظّم هندسي در طبيعت وجود ندارند، پس اين¬ها فطرتاً در عقل ما وجود دارند.
رابعاً، همانگونه كه ما خواستههای جسمی و روحی بسياری را در خود احساس می¬كنيم (نيازهای جسمی همچون نياز به غذا و خواب و نيازهای روحی همانند علاقه به علم، نيكی، زيبايی و پرستش كه ابعاد چهارگانه¬ی روح انسان را تشكيل می¬دهند). همين وجدان به ما مىگويد، كه نيكی و عدالت خوب است و ظلم و تجاوز بد و در اين¬گونه ادراكات خود را نيازمند به هيچ منبع اجتماعی، اقتصادی و... نمی-بينيم.
خامساً، مطلب از نظر جهان بينی توحيدی وضوح بيشتری دارد، زيرا چون پذيرفتيم انسان بر طبق سنّت الهی برای تكامل آفريده شده، بدون شك وسايل لازم برای پيمودن اين راه در درون وجود او بايد آماده شده باشد، و آن¬چه انبيا و كتب آسمانی می¬آورند هماهنگ با ساختار تكوينی اوست. يا به تعبير ديگر: عصاره و خلاصه و خميرمايه¬ی اين تعليمات در درون جان انسان وجود دارد و آن¬چه در شرايع آسمانی آمده شرح مفصّلی برای اين خلاصه است.
هرچند قرآن¬كريم با آيه: «اَللهُ اَخرَجَكُم مِن بُطونِ اُمَّهاتِكُم لاتَعلَمونَ شَيئاً وَ جَعَلَ لَكُمُ السَّمعَ وَالاَبصارَ وَالاَفئِدَةَ ، لَعَلَّكُم تَشكُرونَ: خدا درآن حال که چيزی نمی¬دانستيد از شكم مادرانتان بيرون آورد و برايتان گوش و چشم¬ و دل¬ قرار داد، باشد كه سپاسگزار باشيد. (نحل 16/78 ) نظر افلاطون را كه قائل بود انسان در جهان مُثُل همه چيز را مي¬دانسته، رد مي¬كند و بر آن است كه انسان وقتي از شكم مادر بيرون مي¬آيد، چيزی نمی¬داند و خدا گوش و چشم و دل به او داده است، تا با قلم حواس و با قلم دل و عقل چيزهايي روي اين لوح صاف بنويسد.
ولی از طرف ديگر، قرآن كريم اموري مانند توحيد را فطري بشر مي¬داند، يعني انسان در نهادش خدا را قبول دارد و نيز درآياتي به پيامبرش مي¬فرمايد: «فَذَكِّر اِنَّما اََنتَ مُذَكِّرٌ: يادآوري كن كه تو تنها يادآوري كننده هستي.» (غاشيه 88/21)
و در آياتي بدون دليل بلكه با استفهام انكاري بعضي مسائل را مطرح مي¬كند، كه خود به خود براي بشر روشن هستند، مثلاً مي¬فرمايد: «هَل يَستَوِي الَّذينَ يَعلَمونَ وَالَّذينَ لايَعلَمونَ: آيا كساني¬ كه مي¬دانند و كساني كه نمي¬دانند يكسان¬ند؟» (زمر 39/9)
بنابراين، قرآن كريم به فطريّاتي قائل است. يعنی هرچند نوزاد انسان هيچ نمي¬داند، ولي به گونه¬اي آفريده شده، كه استعداد درك اين¬ها را دارد، يعني وقتي عقلش رشد كرد، همين¬كه اين¬ها را تصوّر كند، تصديقشان فطري است. و نيز وقتي تصوّري از كلّ و جزء پيدا كند، حكم مي¬كند: «كلّ بزرگ¬تر از جزء خودش است.»
در مورد مقادير هم، مفاهيم اوّليّه¬ رياضی را ذهن ما از طريق تجربه تلقّی کرده، آن¬گاه عقل ما با توجّه به معلومات قبليش ـ اعمّ از آن¬هايی که قبل از تجربه در او بوده وآن¬چه¬که از طريق تجربه وحواس-آموخته است ـ اين مفاهيم اوّليّه¬ رياضی را از نو ساخته و از مادّه مجرّد نموده است، و بدين ترتيب، تصوّر اعداد بسيار بزرگ و اَشكال كامل براي ما حاصل شده است. مثلاً ذهن ما نامنظّمي اَشكال هندسي موجود در خارج را مورد غفلت قرار داده است، تا توانسته مثلّث، مربّع، مستطيل، لوزي، بيضي، مخروط، منشور، استوانه، مكعب و... را تصوّر كند.
توضيح آن¬که در آن لحظه كه انسان از مادر متولّد می¬شود مسلّماً چيزى نمی¬داند، و حتّیٰ معلومات فطری براى او به صورت فعليّت حاصل نيست، بعداً كه خود را شناخت و عقل و تميز پيدا كرد معلومات فطری بدون نياز به معلّم و استاد و حسّ و تجربه در او جوانه می¬زند، و الّا چگونه می¬توان گفت، كه انسان همه چيز حتّی علم به وجود خودش را از طريق آزمايش و تجربه و مانند آن می¬فهمد. جمله معروفی از «دكارت» نقل شده، كه می¬گويد: «من حتّی در وجود خود شك و ترديد داشتم، بعد ديدم می¬انديشم و از آن فهميدم هستم» جملهای است پر از اشتباه، زيرا كسی كه می¬گويد من می¬انديشم، قبلاً به وجود «من» اعتراف كرده و بعد انديشه را شناخته نه اينكه اوّل انديشه را شناخته و بعد من را.